จำนวนธรรมชาติ

ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนธรรมชาติ อาจหมายถึง จำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนนับ (1, 2, 3, 4, ...) หรือ จำนวนเต็มไม่เป็นลบ (0 1 2 3 4 ...) ความหมายแรกมีการใช้ในทฤษฎีจำนวน ส่วนแบบหลังได้ใช้งานใน ตรรกศาสตร์ เซตและวิทยาการคอมพิวเตอร์

จำนวนธรรมชาติ มีการใช้งานหลักอยู่สองประการ กล่าวคือสามารถใช้จำนวนธรรมชาติในการนับ เช่น มีส้มอยู่ 3 ผลบนโต๊ะ หรืออาจใช้สำหรับการจัดอันดับ เช่น เมืองนี้มีขนาดใหญ่เป็นอันดับที่ 3 ในประเทศ เป็นต้น

คุณสมบัติของจำนวนธรรมชาติที่เกี่ยวกับการหารลงตัว เช่นการกระจายของจำนวนเฉพาะ เป็นเนื้อหาในทฤษฎีจำนวน ปัญหาที่เกี่ยวกับการนับ เช่น ทฤษฎีแรมซี นั้นถูกศึกษาในคณิตศาสตร์เชิงการจัด

สันนิษฐานว่าจำนวนธรรมชาติ มีแหล่งกำเนิดอยู่ที่การนับ เริ่มด้วยเลขหนึ่ง จำนวนธรรมชาติในนามธรรมได้เกิดขึ้นครั้งแรกจากการใช้ตัวเลข เพื่อแสดงให้ค่าจำนวน จนพัฒนาขึ้นมาในการบันทึกจำนวนที่มากขึ้น ยกตัวอย่างเช่น ชาวบาบิลอนสร้างระบบหลักจำนวนขึ้นมาซึ่งจำเป็นมากในระบบเลขหนึ่งถึงสิบ ชาวอียิปต์ได้สร้างระบบจำนวนอย่างแตกต่างในภาษาเฮียโรกริฟต์ สำหรับหนึ่งถึงสิบและเลขยกกำลังตั้งแต่หลักสิบถึงหลักล้าน ตั้งแต่ที่ถ้ำหินของคาร์หนัก(เคหกรรมของชาวอียิปต์)ก่อนคริสต์ศักราช 1500 ปี จนถึงลูฟฟ์ที่ปารีส แสดงจำนวน 276 โดย 2 แทนที่หลักร้อย 7 แทนที่หลักสิบ 6 แทนที่หลักหน่วย และดังเช่นการเขียนจำนวน 4,622 ด้วย

นิยามอย่างเป็นรูปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของจำนวนธรรมชาติพัฒนาตลอดช่วงประวัติศาสตร์โดยมีอุปสรรคบางประการ สัจพจน์ของเปอาโนกำหนดเงื่อนไขที่นิยามสมบูรณ์ใด ๆ ต้องสอดคล้อง การสร้างบางประการแสดงว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เมื่อกำหนดทฤษฎีเซต ต้องมีอยู่

สัจพจน์ของเปอาโนเป็นที่มาของทฤษฎีอย่างเป็นรูปนัยของจำนวนธรรมชาติ สัจพจน์ของเปอาโนมีดังนี้:

หมายเหตุ 0 {\displaystyle 0} ในนิยามข้างต้นไม่ได้หมายถึงเลขศูนย์เสมอไป 0 {\displaystyle 0} หมายถึงบางจำนวนที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของเปอาโน เมื่อพิจารณาร่วมกับ"ฟังก์ชันตัวตามหลัง"ตามเหมาะสม ทุกระบบที่สอดคล้องกับสัจพจน์เหล่านี้สมมูลกันตามรูปแบบเชิงตรรก อย่างไรก็ตาม มีแบบจำลองสัจพจน์ของเปอาโนที่นับไม่ได้ ซึ่งเรียกว่าแบบจำลองเลขคณิตแบบไม่มาตรฐาน และยืนยันโดยUpward Löwenheim-Skolem Theorem ชื่อ 0 {\displaystyle 0} ใช้ในที่นี้สำหรับสมาชิกตัวแรก (มีการเสนอชื่อ"สมาชิกตัวที่ศูนย์" เพื่อให้ใช้ "สมาชิกตัวแรก" เรียก 1 {\displaystyle 1} ใช้ "สมาชิกตัวที่สอง" เรียก 2 {\displaystyle 2} ฯลฯ) ซึ่งเป็นสมาชิกที่ไม่มีตัวนำหน้า เช่นจำนวนธรรมชาติที่เริ่มด้วย 1 {\displaystyle 1} ก็สอดคล้องสัจพจน์ ถ้าสัญลักษณ์ 0 {\displaystyle 0} ถือเป็นจำนวนธรรมชาติ 1 {\displaystyle 1} สัญลักษณ์ S ( 0 ) {\displaystyle S} ถือเป็น 2 {\displaystyle 2} ฯลฯ ที่จริงแล้วในต้นฉบับของเปอาโน จำนวนธรรมชาติจำนวนแรกคือ 1 {\displaystyle 1}

การสร้างมาตรฐานในวิชาทฤษฎีเซต เป็นกรณีพิเศษของการสร้างเรียงลำดับแบบวอน นิวมันน์ กำหนดนิยามของจำนวนธรรมชาติดังนี้: